Пора мыслить глобально: от основ к непостижимому

Стивен Строгатц
Пора мыслить глобально: от основ к непостижимому

Наиболее известные идеи геометрии были навеянны античным видением — видением мира плоским. От параллельных линий, которые никогда не пересекаются, к теореме Пифагора, о которой мы уже говорили, — таковы вечные истины про воображаемое место, двухмерное пространство плоской геометрии.

Зародившись в Индии, Китае, Египте и Вавилонии более 2,5 тыс. лет назад и систематизированная и усовершенствованная Евклидом и древними греками, эта геометрия плоской земли является основной (и часто единственной), которой учат сейчас в средней школе. И за несколько тысячелетий, что прошли, кое-что изменилось.

В эпоху глобализации, Google Earth и трансконтинентальных воздушных путешествий каждый из нас должен попытаться хоть немного узнать о сферическую геометрию и ее современное обобщение — дифференциальную геометрию. Ее основным идеям лишь 200 лет. Основана Карлом Фридрихом Гауссу и Бернгардом Риманом, дифференциальная геометрия подпирает такие впечатляющие интеллектуальные сооружения, как общая теория относительности Эйнштейна. Однако в ее основе лежат прекрасные идеи, которые может понять каждый, кто когда-то ездил на велосипеде, смотрел на глобус или растягивал резиновую ленту. И их понимание поможет вам понять несколько интересностей, которые вы могли заметить во время ваших путешествий.

Например, когда я был маленьким, мой папа любил проверять, как я знаю географию. Что лежит севернее — Рим или Нью-Йорк, спрашивал он. Большинство людей сказали бы, что Нью-Йорк, но, как это не странно, они есть почти на той же широте, Рим немного севернее. На обычной карте мира (обманчивой проекции Меркатора, где Гренландия кажется гигантской) выглядит так, что вы можете путешествовать из Нью-Йорка непосредственно в Рим, взяв курс прямо на восток.

Однако пилоты авиалиний никогда не выбирают такой маршрут. Вылетая из Нью-Йорка, они всегда берут курс на северо-восток, держась побережья Канады. Когда-то я думал, что они держатся около земли ради безопасности, но не это является причиной. Это попросту самый прямой маршрут, если вы учтете кривину Земли. Кратчайший путь из Нью-Йорка в Рим пролегает через Новую Шотландию и Ньюфаундленд, потом над Атлантикой, и наконец возвращает к югу Ирландии, через Францию, чтобы прибыть к солнечной Италии.

Такой путь на шаре называется дугой большого круга». Как и прямые линии в обычном пространстве, большие круги на сфере содержат кратчайшие пути между двумя точками. Их называют «большими», потому что они являются самыми кругами, которые вы можете получить на сфере. Яркими примерами является экватор, меридиональные круги, которые проходят через северный и южный полюса.

Другой характеристикой, которая является общей для прямых линий и больших кругов, является то, что они являются самым прямым путями. Это может звучать странно: все пути на шары являются кривыми, так что мы имеем в виду, говоря «прямо»? Что же, некоторые пути является более кривые, чем другие. Большие круги не создают никакой дополнительной кривизны, более ту, которую они вынуждены создавать, держась поверхности сферы.

Вот как это можно сделать наглядным. Представьте, что вы едете на очень маленьком велосипеде поверхностью шара и пытаетесь держаться определенного пути. Если он является частью большого круга, вам никогда не надо будет возвращать руль. Именно в этом смысле большие круги являются «прямыми». И наоборот, если вы пытаетесь ехать вдоль параллели вблизи одного из полюсов, вам постоянно надо будет поворачивать руль.

Конечно, по сравнению с другими поверхностями, плоскость и сфера являются излишне простыми. Поверхность человеческого тела, консервной банки или бублика была бы типичной: все они имеют гораздо меньше симметрии, а также различные типы углублений и проходных отверстий, что делает гораздо сложнее навигацию ними. В этом общем формулировке задачи нахождения кратчайшего пути между двумя точками становится намного сложнее. Поэтому вместо того, чтобы углубляться в технические подробности, сосредоточимся на интуитивном подходе. Именно здесь нам пригодятся резиновые ленты.

Так вот представьте гладкую эластичную ленту-тесьму, которая всегда взимается на сколько может, прилегая к поверхности. С ее помощью мы легко можем определить кратчайший путь между Нью-Йорком и Римом или, если уже об этом зашла речь, между двумя точками на любой поверхности. Привяжите концы тесьмы до точек отправления и прибытия и позвольте ей туго натянуться, прилипая к поверхности. Когда тесьма настолько тугой, насколько позволяют эти ограничения, готово! Она прочерчивает кратчайший путь.

На более сложной поверхности, чем плоскости и сферы, может оказаться что-то странное и новое: может существовать много локально кратчайших путей между теми же двумя точками. Например, рассмотрим поверхность жестяной пушки, где одна точка лежит прямо под другой.

Тогда кратчайшим путем между ними есть, очевидно, отрезок прямой, как показано вверху, и наша эластичная тесьма найдет это решение. То что здесь нового? Цилиндрическая форма жестянки открывает новые возможности для всех типов изгибов. Допустим, нам нужно, чтобы тесьма обвила цилиндр, перед тем как соединится со второй точкой. Поэтому теперь тесьма туго натягивается, образуя спираль, как на древних вывесках цирюльников.

Этот ґвинтовий путь является еще одним решением проблемы кратчайшего пути, в том смысле, что это кратчайший из всех возможных близких путей. Если вы немного зсунете тесьму, она обязательно станет длиннее, а потом снова взыщется к винтовой линии. Вы можете сказать, что это «локально» кратчайший путь — местный чемпион среди всех тех, которые один раз обматываются вокруг цилиндра. (Кстати, именно поэтому дисциплину называют «дифференциальным» («різницевою») геометрией; она изучает влияние малых локальных различий на различные типы форм, как разница в длине между ґвинтовою линией и ее соседями).

Однако это не все. Есть еще один чемпион, который наматывается дважды, и еще один, который окутывается трижды, и т.д. Есть бесконечно много локально кратчайших путей на цилиндре. Конечно, ни одна из этих ґвинтових линий не является «глобально» кратчайшим путем. Путь по прямой короче, чем все они.

Аналогично поверхности с дырами и ручками допускают много локально кратчайших путей, которые отличаются своими способами обвитие вокруг различных частей поверхности. Видео, сделанное когда-то математиком Конрадом Польтиром из Берлинского свободного университета, иллюстрирует неєдиність этих локально кратчайших путей — «геодезических линий» — на поверхности воображаемой планеты, которая имеет форму восьмерки, поверхности, которую в профессиональных кругах называют «двойным тором».

Красные, желтые и зеленые геодезические линии проходят по разным частям планеты, таким образом образуя петли. Но общим для них всех является большая прямота сравнению с поблизькими путями. И аналогично, как прямые на плоскости или большие круги на сфере, эти геодезические линии являются самым прямым, насколько это возможно, кривыми на поверхности. Они выгибаются, чтобы приспособиться к поверхности, но не извиваются по ней. На другом его видео мотоцикл едет вдоль геодезической автострады на двойном тори, следуя рельефу местности. Интересным является то, что мотоциклетное руль заблокирован. Им не надо рулить, чтобы оставаться на дороге. Это акцентирует предварительные интуитивные представления, что геодезические линии, как и большие круги, является естественным обобщением прямых линий.

Со всеми этими полетами фантазии у вас может возникнуть вопрос, геодезические линии имеют что-то общее с реальностью. Понятное дело, имеют. Эйнштейн показал, что световые лучи держатся геодезических линий, паря вселенной. Знаменитый залом света звезд вблизи солнца, который обнаружили во время солнечных затмений 1919 г., подтвердил, что свет распространяется по геодезическим линиям через искривлено пространство-время, искривляясь через гравитацию солнца.

На более приземленном уровне математика нахождение кратчайших путей является крайне необходимой во всем: от навигационных систем GPS в наших автомобилях к маршрутизации информационного потока в Интернете. Впрочем в этих ситуациях соответствующим пространством огромный лабиринт адресов и веб-ссылок, в отличие от гладких поверхностей, которые мы рассматривали выше, и математические проблемы связанные со скоростью алгоритмов — есть самый эффективный способ найти кратчайший путь через сеть? Принимая во внимание мириады потенциальных путей, задача могла бы оказаться неподъемным, если бы не проницательность математиков и программистов, которые одолели его.

Иногда, когда люди говорят, что кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая линия, они говорят это в переносном значении, с оттенком насмешки и отстаивая здравый смысл. Другими словами, чем проще, тем лучше. И преодоления препятствий может поспособствовать зарождению великой красоты — тем более, что в искусстве, и в математике, часто более плодотворным является накладывать ограничения на самих себя. Вспомним хайку, или сонеты, или рассказ о вашей жизни в шести словах. То же самое относится и ко всей математике, которая была создана, чтобы найти кратчайшее расстояние между двумя точками, когда нельзя избрать легкий путь.

Две точки. Много путей. Математическое блаженство.

Автор: Стивен Строгатц

Похожие публикации

Самые популярные новости недели

Viber является самым популярным мессенджером на постсоветском пространстве, и компании даже запускают в нем собственных чат-ботов. Viber позволяет...

«Меч Хаоса» – популярная мобильная MMORPG, статистика загрузки в Google Play перевалило за 1 млн пользователей. В переводе MMORPG – это массовая...

Многочисленной группой пользователей радиотелефонами есть люди пожилого возраста, которым не всегда легко пользоваться современными устройствами....

В Сеть утекли сведения про очередной смартфон от Xiaomi, сообщает gsmarena. Главными особенностями модели станут небольшие размеры и мощное оснащение.

Недавно представлены компанией LG смартфоны серии X демонстрируют удачное сочетание сбалансированных конфигураций и индивидуальные особенности...